Программа курса
«Теория вероятностей и математическая статистика».
Весна 2005 г.

1.	Стохастический эксперимент. Понятие события
•	понятие стохастического эксперимента, элементарные события
•	события как подмножества пространства элементарных событий, операции над событиями (объединение, пересечении, дополнение), свойства операций
•	алгебра и сигма-алгебра событий, примеры
•	сходимость последовательности событий, предел последовательности событий
2.	Вероятностное пространство
•	аксиомы вероятности
•	непрерывность вероятности 
•	примеры вероятностных пространств,  классическая и геометрическая  вероятности
3.	Условная вероятность
•	свойства условной вероятности
•	формула полной вероятности
•	формула Байеса
4.	Последовательность независимых испытаний
•	биномиальное распределение (распределение Бернулли), полиномиальное распределение
•	отрицательное  биномиальное распределение (распределение Паскаля)
•	теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа
5.	Цепи Маркова
•	свойства цепи Маркова: конечность, однородность, эргодичность
•	матрицы перехода за один и n шагов; свойства матриц перехода
•	достаточное условие эргодичности (теорема Маркова)
6.	Понятие случайной величины и случайного вектора
•	определение и свойства функции распределения случайной величины
•	дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные случайные величины и векторы
•	функции от случайных величин и случайных векторов, их распределения
•	условное распределение
7.	Независимость событий и случайных величин
•	независимость событий: попарная и в совокупности
•	свойства независимых событий
•	независимость случайных величин: попарная и в совокупности
•	функции от независимых случайных величин
8.	Числовые характеристики распределения случайной величины и случайного вектора
•	математическое ожидание случайной величины и случайного вектора, его свойства
•	дисперсия случайной величины, свойства дисперсии
•	матрица ковариаций случайного вектора, ее свойства
•	условное математическое ожидание случайной величины, его свойства
•	характеристическая функция и ее свойства
•	теоремы обращения и непрерывности обращения характеристической функции (без доказательства)
9.	Наилучшее (в среднем квадратичном) оценивание случайных величин и случайных векторов
•	наилучшее линейное оценивание случайной величины и случайного вектора
•	условное математическое ожидание как наилучшая в среднем квадратичном оценка случайной величины
10.	
Предельные теоремы
•	сходимость последовательности случайных величин: по вероятности, по распределению, в среднем квадратичном
•	законы больших чисел Чебышева и Маркова
•	центральная предельная теорема и интегральная теорема Муавра–Лапласа
11.	Нормальное распределение (распределение Гаусса)
•	одномерное нормальное распределение и его характеристики (моменты, характеристическая функция)
•	линейное преобразование гауссова случайного вектора
•	многомерное нормальное распределение
•	распределение ортогональных проекций нормальных векторов и функций от них
•	распределения хи-квадрат (Пирсона), Стьюдента, Фишера
12.	Случайные процессы
•	определение случайного процесса, основные характеристики случайного процесса: функции распределения, математическое ожидание, корреляционная функция
•	процесс Пуассона: определение, характеристическое свойство, примеры пуассоновских потоков событий, распределение времени ожидания первого события
•	 процесс Винера: определение, характеристическое свойство, броуновское движение, распределение времени первого достижения
•	среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость случайного процесса, их связь со свойствами корреляционной функции
13.	Точечное оценивание параметров распределения
•	Точечные оценки, несмещенность, состоятельность оценки
•	примеры точечных оценок математического ожидания и дисперсии
•	свойства оценок минимальной дисперсии
•	эффективность, теорема Крамера–Рао, экспоненциальное семейство
•	оценка максимального правдоподобия
14.	Интервальное оценивание параметров распределения
•	постановка задачи интервального оценивания
•	интервальные оценки математического ожидания и интервальные оценки  дисперсии нормального распределения
15.	Задачи оценивания в линейной модели измерения
•	линейная схема косвенных измерений
•	линейное оценивание,  методы редукции измерений  и метод наименьших квадратов
•	теорема Гаусса–Маркова
•	гауссовская модель измерения,  доверительный эллипсоид, интервальные оценки